Майданлыкъ бетни къайнагъына къара

{{Физикалыкъ уллулукъ|Аты=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Майданлыкъ|Символ=<math>S</math>, чыкъгъаны {{lang-fr|superficie}}|Ёлчемлик=L²|ЁС=[[квадрат метр|м²]]|СГС=[[квадрат сантиметр|см²]]|Белгиле=[[скаляр]]}}
[[Файл:Area.svg|thumb|right|Юч фигураны да бютеулей майданлыгъы 15-16 квадратчыкъ болады]]
''' Майданлыкъ''' неда '''Майдан''' — [[физикалыкъ уллулукъ]]ду, ол юсню ёлчемин белгилейди, геометриялыкъ фигураланы эм баш шартларыны бириди, математикада, юсню бютеулей неда бир кесегини толтургъан кёблюк нохталаны ёлчесиди<ref> [http://leksika.com.ua/12260220/ure/ploscha «Площа»] // {{УРЕ}}</ref>. 
Эскиден майданлыкъны тергеу [[Квадратура (математика)|квадратура]] атны джюрютгенди. Бош фигураланы кескин магъанасы бу ангыламгъа практика джанындан берилген излемге кёре болады. Бирча майданлыкълары болгъан фигуралагъа ''тенг уллулукълу'' фигурала дейдиле.

Геометриялыкъ фигураланы тергеуню орталыкъ мадарын [[интеграл тергеу баджаргъанды]]. Майданлыкъны бир халгъа келтирилген ангыламы [[кёблюкню ёлчеси]] болгъанды, ол геометриялыкъ объектлени кенг классына келишеди. 
Практикада майданлыкъну ёлчелер ючюн [[палетка (геодезия)|палеткны]] неда энчи ёлчелеу адырны — [[планиметр]]ни хайырландырадыла.
== Майданлыкъ ангыламны белгилеую ==

=== Энчиликлери ===
[[Файл:Jordan illustration.png|thumb|right|Жорданны ич ёлчеси, Жорданны тыш ёлчесине тенг эсе, кёблюк Жордан бла ёлчеленирчады]]
Майданлыкъ — бу энчиликлеге ие болгъан функцияды{{sfn|Геометрия|1966|с=7—13}}<ref name="mathenc"/>:
* Позитивлик, ол демеклик майданлыкъ негатив уллулукъ тюлдю ([[Скаляр уллулукъ|скаляр]]);
* [[Аддитив уллулукъ|Аддитивлик]], ол демеклик фигураны майданлыгъы, къуралгъан фигураларыны ортакъ ич нохтасыз майнданлыкъларына тенгди;
* Инвариантлыкъ, ол демеклик [[Конгруэнтнлик (геометрия)|конгруэнт]] фигураланы майданлыкълары тенгди;
* Мардалаулукъ, ол демеклик [[биримли квадрат]]ны майданлыгъы 1-ге тенгди.
Майданлыкъны бу ачыкълауундан аны монотонлукълугъу чыгъады, ол демеклик фигураны кесеклерини майданлыкълары, бютеу фигураны майндалыкълыгъындан азды{{sfn|Геометрия|1966|с=7—13}}.

=== Квадратланнган фигурала ===
{{main|Жорданны ёлчеси}}
Аллында майданлыкъны ачыкълауу [[кёбмюйюш]]ле ючюн къурашдырылгъанды, артдан ол квадратланнга фигуралагъа да джайылгъанды. Квадратланнган фигура деб, кёбмюйюшню ичинде сыйындырылгъан эмда аны ичине да кёб мюйюш сыйыннган фигурагъа айтылады, эки кёбмюйюшню майданлыгъы кеси излегенча гитче уллулукъгъа айрыды. Аллай фигуралагъа [[Жорданны ёлчеси|Жордан бла ёлчеленалгъан]] фигурала да дейдиле<ref name="mathenc"/>. [[Биримли квадрат]]ланы сау санындан къуралмагъан джассылыкъда фигурала ючюн, майданлыкъ [[Лимит (математика)|мардалы кёчюу]] хайырландырылады; ол озаманда фигура эмда аны чеги кесекли-сыйдам болургъа керекди<ref>{{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |издание=Изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |издательство= ФИЗМАТЛИТ |страниц=800 |том=2 |страницы=186—224 }}</ref>. Квадратланмагъан джассы фигурала боладыла<ref name="mathenc"/>. Башында теджелген майданлыкъны аксиомалыкъ ачыкълаугъа джассы фигурала ючюн конструктив ачыкълау къошулады, ол заманда майданлыкъны ёлчелеу палетка бла этиледи. Ёлчелеу кескинирек болур ючюн, эндиги атламда аллындагъы атламдагъы палеткадан квадратны джаны он кереге аз болгъан палетка хайырландырылады<ref name="kvant">''Болтянский В.'' [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm О понятиях площади и объёма.] {{Wayback|url=http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm |date=20170505023703 }} [[Квант (журнал)|Квант]], № 5, 1977, c.2—9</ref>.

Квадратланнган джассы фигураны майданлыгъы барды эмда джангызды. Ортакълыракъ кёблюклеге джайылгъан майданлыкъ ангылам, кёблюклени айгъакълаууна келтиргенди, ала [[Лебегни ёлчеси|Лебег бла ёлчеленирчадыла]], аны бла [[ёлчени теориясы]] кюрешеди. Андан ары баргъанда андан да ортакълыракъ классла чыгъадыла, алагъа майданлыкъны энчилиги джангызлыгъына гарантия бермейди<ref name="mathenc"/>.

== Майданлыкъны белгилеуню ортакъ амалы ==

=== Джассы фигураны майданлыгъы ===
Практикада кёбюсюне кесекли-сыйдадм чеги болгъан чекленнген фигураны майданлыгъын айгъакъларгъа керек болады. [[Математикалыкъ анализ]] быллай хыйсабланы эсеблер ючюн универсал амал теджейди.

==== Декартны координатлары ====
[[Файл:Integral as region under curve.svg|thumb|left|180px|Фигураны майданлыгъыча белгиленнген интеграл]]
[[Файл:Areabetweentwographs.svg|thumb|180px|Эки функцияны графиклерини арасында майданлыкъ, бу эки функциядан интегралланы, бирча интеграция лимитлеринде алымларына тенгди]]
<math>[a, b]</math> интеравалда бёлюнмеген [[функцияны графики]] бла горизонтал осну арасындагъы майданлыкъ ол функциядан [[белгиленнген интеграл]] кибик тергелирге боллукъду:
: <math>S = \int\limits_a^b f(x)\, dx</math>
<math>f(x),\, g(x)</math> эки бёлюнмеген функцияны графиклерини <math>[a, b]</math> интервалны арасындагъы майданлыкъ бу функцияланы алымларыны модулларыны белгиленнген интегралыча болады:

<math>S = \int\limits_a^b \left | f(x)-g(x) \right |\, dx</math>

==== Полюс координатла ====
[[Полюс координат]]лада: <math>r=r(\theta )</math> функцияны графиги эмда <math>\theta = \theta_1, \theta = \theta_2, \theta_1<\theta_2</math> сызтаякъ бла чекленнген майданлыкъ бу формула бла тергеленеди:

: <math>S =  {1 \over 2} \int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta) \, d\theta </math>.


==== Параметрлик форма ====
Фигура параметрлик формада бу тенглендириу бла берилсин:

<math> \begin{cases}
  x=\varphi \left ( t \right )\\
  y=\psi \left (t \right )
\end{cases},t \in \left [t_1, t_2 \right ] </math>

Ол заманда, <math>x=\varphi \left ( t \right )</math> функцияны дифференцияланнган кери къайтарылыуу бар эсе, бизни функциябыз <math>f(x)=\psi \left ( \varphi ^{-1} \left (t \right ) \right )</math> кёрюнюмде бериледи.

Алай болса, фигураны майданлыгъын бу формула бла тергейдиле:

<math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi \left (t \right ) \frac {d\varphi } {dt} dt</math> -->

=== Юсню майданлыгъы ===
{{main|Юсню майданлыгъы}}
Кесекли-сыйдам юсню ючёлчели аламда майданлыгъын белгилер ючюн, тийген джассылыкълагъа хар нохтада ортогонал проекцияланы хайырландырадыла, андан сора лимит кёчюу этедиле. Эсебинде, <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),</math> [[Вектор-функция|вектор-функция]] бла белгиленнген '''A'''  къынгырланнган юсню майданлыгъы экили интеграл бла бериледи:
: <math> S = \iint\limits_A \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv. </math>
Ол координатлада да:
: <math>S = \iint\limits_A \sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v</math>
Здесь <math>\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}</math>.

=== Майданланы теориясы ===
Майданланы теориясы k-ёлчели майданлыкъны аслам ортакъ аламлагъа кесекли-сыйдам батдырылыууну ачыкълаууну джайылыуу бла байламлы бир халгъа келтириуле бла кюрешеди. Кесекли-сыйдам батдырылыу ючюн f майданлыкъны башында белгиленнген амал бла айгъакълайдыла, аны бла бирге майданлыкъда позитивлик, [[Аддитивлик (математика)|аддитивлик]], мардаланыулукъ кибик энчиликлери сакъланады эмда джангы энчиликле да джаратыладыла.

== Майданлыкъны ёлчелеу биримлери ==
[[Файл:Area conversion - square mm in a square cm.png|200px|right|thumb|Бир квадрат сантиметрде джюз квадрат миллиметр барды]]

=== Метрлик биримле ===
* [[Квадрат метр]], [[ЁС|Халкъла арасы биримле системаны (ЁС)]] чыгъарлыгъан биримиди; 1 [[м²]] = 1 са ([[сантиар]]);
* [[Квадрат километр]], 1 км² = 1 000 000 м²;
* [[Гектар]], 1 га = 10 000 м²;
* [[Ар]] (сотка), 1 а = 100 м²:
* [[Квадрат дециметр]], 100 дм² = 1 м²;
* [[Квадрат сантиметр]], 10 000 см² = 1 м²;
* [[Квадрат миллиметр]], 1 000 000 мм² = 1 м²;
* [[Барн]], 1 б = 10<sup>−28</sup> м².

=== Антик биримле ===
* [[Актус (ёлче)|Актус]]
* [[Арура (мисирчи ёлче)|Арура]]
* [[Центурия]]
* [[Югер]]

=== Башхала ===
* [[Акр]]
* [[Рай (майданлыкъ ёлче)|Рай]] = 1600 [[м²]] (40 м × 40 м).
* Квадрат парсек
* [[Планк майданлыкъ]] (<math>S_P, {\ell}_{P}^{2}</math>) ≈ 2,612099 · 10<sup>−70</sup> м<sup>2</sup>

== Бош фигураланы майданлыкъларын тергеу формулалары ==

=== [[Кёбмюйюш]]ле ===
{| class="wikitable"
! [[Фигура (геометрия)|Фигура]]
! Формула
! Тюрленмеле
|-
| [[Тюз ючмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>a^2\frac{\sqrt{3}}{4}</math>
| <math>a</math> — ючмюйюшню бир джаны
|-
| [[Тикмюйюш ючмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{ab}{2}</math>
| <math>a</math> и <math>b</math> — ючмюйюшню катетлери
|-
| rowspan="4" | Кесича болгъан [[ючмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}ah</math>
| <math>a</math> — ючмюйюшню бир джаны, <math>h</math> — ол джанына келтирилген мийиклик
|-
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}ab\sin\alpha</math>
| <math>a</math> и <math>b</math> — къайсы болса да эки джаны, <math>\alpha</math> — аланы арасында мюйюш
|-
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> <br> ([[Геронну формуласы]])
| <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — ючмюйюшню джанлары, <math>p</math> — джарымпериметр <math>\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)</math>
|-
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}</math>
| <math>(x_0;y_0)</math>, <math>(x_1;y_1)</math>, <math>(x_2;y_2)</math> — ючмюйюшню джитилерини координатлары (джитилерин сагъат бурулгъан бла джанласакъ позитив эсеб аллыкъбыз, алай болмаса негатив)
|-
| [[Квадрат]]
| style="text-align:center" | <math>a^2</math>
| <math>a</math> — квадратны бир джаныны узунлугъу
|-
| [[Тикмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>ab</math>
| <math>a</math> эмда <math>b</math> — тикмюйюшню джанларыны узунлугъу (узунлугъу бла кенглиги)
|-
| [[Ромб]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}cd</math>
| <math>c</math> и <math>d</math> — ромбну диагоналларыны узунлугъу
|-
| rowspan="2" | [[Параллелограмм]]
| style="text-align:center" | <math>ah</math>
| <math>a</math> и <math>h</math> — бир джанынын эмда аннга тюшюрюлген мийикликни узунлукълары
|-
| style="text-align:center" | <math>ab\sin\alpha</math>
| <math>a</math> эмда <math>b</math> — параллелограммны хоншу джанлары, <math>\alpha</math> — араларында мюйюш
|-
| [[Трапеция]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}(a+b)h</math>
| <math>a</math> и <math>b</math> — тамал трапеция, <math>h</math> — трапецияны мийиклиги
|-
| Кесича болгъан [[тёртмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos\alpha}</math> <br> ([[Брахмагуптаны формуласы]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — тёртмюйюшню джанлары, <math>p</math> — аны джарымпериметри, <math>\alpha</math> — тёртмюйюшню къаршчы тургъан мюйшлерини джарымсуммасы
|-
| [[Тюз алтымюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>a^2\frac{3\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>a</math> — алтымюйюшню бир джаныны узунлугъу
|-
| [[Тюз сегизмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>2a^2(1+\sqrt{2})</math>
| <math>a</math> — сегизмюйюшню бир джаныны узунлугъу
|-
| [[Тюз кёбмюйюш]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{P^2/n}{4\operatorname{tg}(\pi/n)}</math>
| <math>P</math> — периметр, <math>n</math> — джанларыны саны
|-
| Кесича болгъан [[кёбмюйюш]] (тышына бюгюлген эмда тышына бюгюлмеген)
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}+y_i)\right|</math> <br> ([[трапецияланы амалы]])
| <math>(x_i;y_i)</math> — кёбмюйюшню джитилерини координатлары, аланы джанлау мизамлары бла, ахыргъы биринчи бла джалгъанады: <math>(x_{n+1};y_{n+1})=(x_1;y_1)</math>; тешиклериболса, аланы джанлауларыны сюремлери кёбмюйшню тыш чегинден джанлаууна къаршчыды турады
|-
| Кесича болгъан [[кёбмюйюш]] (тышына бюгюлген эмда тышына бюгюлмеген)
| Кёбмюйшлени майданлыкъларын Саррону амалы бла тергеу<ref>Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12-15</ref>. Аналитикалыкъ формуласы барды.
|Кёбмюйюшню джанларыны узунлугъу эмда джанланы азимут мюйюшлери берилгенди
|}

=== Тогъайны, аны кесеклерини, ичи бла эмда тышы бла тартылгъан фигураланы майданлыкълары ===
{| class="wikitable"
! Фигура
! Формула
! Тюрленмеле
|-
| [[Тогъай]]
| style="text-align:center" | <math>\pi r^2</math> неда <math>\frac{\pi d^2}{4}</math>
| <math>r</math> — радиус, <math>d</math> — тогъайны [[диаметр]]и
|-
| [[Тогъайны сектору]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{\alpha r^2}{2}</math>
| <math>r</math> — тогъайны райдиусу, <math>\alpha</math> — секуторну ара мюйюшю ([[радиан]]лада)
|-
| [[Тогъайны сегменти]]
| style="text-align:center" | <math>\frac{r^2}{2}(\alpha-\sin\alpha)</math>
| <math>r</math> — тогъайны радиусу, <math>\alpha</math> — секуторну ара мюйюшю ([[радиан]]лада)
|-
| [[Эллипс]]
| style="text-align:center" | <math>\pi ab</math>
| <math>a</math>, <math>b</math> — эллипсни уллу эмда гитче джарымосу
|-
| Тёгерекни ичи бла тартылгъан ючмюйюш
| style="text-align:center" | <math>\frac{abc}{4R}</math>
| <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — ючмюйюшню джанлары, <math>R</math> — тышы бла баргъан тёгерекни радиусу
|-
| Тогъайны ичи бла тартылгъан тёртюмюйш
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math> <br> ([[Брахмагуптаны формуласы]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — тёртмюйюшню джанлары, <math>p</math> — джарымпериметри
|-
| Тогъайдан узакъ болмай тартылгъан кёбмюйюш
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}Pr</math>
| <math>r</math> — тёгерекни радиусу, кёбмюйюшню ичи бла тартылгъанды, <math>P</math> — кёбмюйюшню [[периметр]]и
|-
| Тёгерекни къатында тартылгъан тикмюйюш трапеция
| style="text-align:center" | <math>ab</math>
| <math>a</math>, <math>b</math> — трапецияны тамаллары
|}

=== Затланы аламда юслерини майданлыкълары ===
{| class="wikitable"
! Зат
! Формула
! Тюрленмеле
|-
| Тюз тёгерек [[цилиндр]]ни толу юсю
| style="text-align:center" | <math>2\pi r(r+h)</math>
| rowspan="2" | <math>r</math> и <math>h</math> — радиусу эмда мийиклиги
|-
| Тюз тёгерек [[цилиндр]]ни къабыргъа юсю
| style="text-align:center" | <math>2\pi rh</math>
|-
| Тюз тёгерек [[конус]]ну толу юсю
| style="text-align:center" | <math>\pi r (l + r)</math>
| rowspan="2" | <math>r</math> и <math>l</math> — радиус эмда къабыргъа юсню къураучусу
|-
| Тюз тёгерек [[конус]]ну къабыргъа юсю
| style="text-align:center" | <math>\pi rl</math>
|-
| [[Сфера]]ны юсю ([[тоб]]ну)
| style="text-align:center" | <math>4\pi r^2</math> или <math>\pi d^2</math>
| <math>r</math> и <math>d</math> — радиусу эмда диаметри
|-
| Тюз [[Призма (геометрия)|призманы]] къабыргъа юсю
| style="text-align:center" | <math>Ph</math>
| <math>P</math> — тамалыны периметри, <math>h</math> — мийиклиги
|-
| Кесича болгъан [[Призма (геометрия)|призманы]] толу юсю
| style="text-align:center" | <math>2A_1+A_2</math>
| <math>A_1</math> — тамалыны майданлыгъы <math>A_2</math> — къабыргъа юсюню майданлыгъы

|}

== Белгиле ==
{{Белгиле}}

== Литература ==
* {{книга |заглавие = Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая. Геометрия |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-5.htm
  |ответственный = под редакцией [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]], А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина
  |место = {{М.}} |издательство = Наука |год = 1966
  |страниц = 624 
  |ref = Геометрия}}{{ref-ru}}
* ''Рашевский П. К.'' Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.{{ref-ru}}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |место=М. |издательство=Наука |год=1960 |издательство= ФИЗМАТЛИТ |страниц=680 |isbn=5-9221-0155-2 |том=2 }}{{ref-ru}}
* {{книга |
 |заглавие=История математики: в 3 т
 |ответственный=под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]]
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1970
 |том=I: С древнейших времён до начала Нового времени
 |страниц=
 |ref = История математики, т. I
}}{{ref-ru}}
* {{книга |часть=
 |заглавие=История математики: в 3 т
 |ответственный=под редакцией А. П. Юшкевича
 |место=М.
 |издательство=Наука
 |год=1970
 |том=II: Математика XVII столетия
 |страниц=
 |ref = История математики, т. II
}}{{ref-ru}}
* {{Книга
 |автор = Boyer C. B., Merzbach U. C.
 |заглавие = A History of Mathematics
 |ссылка = https://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s
 |год = 2010
 |издательство = John Wiley & Sons
 |allpages = 640
 |ref = Boyer & Merzbach
 }} {{Wayback|url=https://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s |date=20190709130802 }}{{ref-en}}

[[Категория:Математика]]
[[Категория:Ёлчелеу биримле]]
[[Категория:Физикалыкъ уллулукъла]]